数学Ⅲα【137】z+1/zが実数の条件は共役・極形式・a+biの3通りで

この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。流れをつかんでから、下の解説を読んでください。

解説動画（音声つき）

\(z+\dfrac1z\) が実数になる \(z\) は、実数か \(|z|=1\) のどちらかです。「実数 ⇔ 共役と等しい」で式を作る方法、極形式でおく方法、\(z=a+bi\) とおく方法の3通りで確かめます。どの方法でも、最後は「積が 0」の形に持ちこむのがポイントです。

この回で扱う問題

\(z\) を \(z\ne 0\) である複素数とする。\(z+\dfrac1z\) が実数であるための必要十分条件は、\(z\) が実数であるか \(|z|=1\) であることを示せ。

（改津田塾大）

方針 ― 3通りの道具

（解1）\(w\) が実数 \(\iff w=\overline{w}\)。共役をとった式を作り、\(z\overline{z}=|z|^2\) を使う。
（解2）極形式 \(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\) とおき、虚部 \(=0\)。
（解3）\(z=a+bi\) とおき、分母を実数化して虚部 \(=0\)。

z ＋ 1/z が実数になる z は、実軸上（0 を除く）か単位円上。単位円上なら 1/z は z の共役

（解1）実数 ⇔ 共役と等しい

\(z+\dfrac1z\) が実数となるのは

\[z+\frac1z=\overline{z+\frac1z}=\overline{z}+\frac1{\overline{z}}\]

のときです。両辺に \(z\overline{z}=|z|^2\ (\ne 0)\) をかけると

\[|z|^2z+\overline{z}=|z|^2\overline{z}+z\]

すべて左辺に移して、\(|z|^2\) のある項とない項でまとめます。

\[|z|^2(z-\overline{z})-(z-\overline{z})=0\]

\[(z-\overline{z})\left(|z|^2-1\right)=0\]

よって \(z=\overline{z}\)（\(z\) は実数）または \(|z|^2=1\)、つまり \(|z|=1\)。式変形はすべて同値なので、必要十分条件になっています。

（解2）極形式でおく

\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)\ (r\gt 0)\) とおくと、\(\dfrac1z=\dfrac1r\{\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)\}\) です。

\[z+\frac1z=\left(r+\frac1r\right)\cos\theta+i\left(r-\frac1r\right)\sin\theta\]

これが実数になるのは、虚部が 0 のとき。

\[\left(r-\frac1r\right)\sin\theta=0\]

\(r-\dfrac1r=0\) なら \(r^2=1\)、\(r\gt 0\) より \(r=1\)。つまり \(|z|=1\)。
\(\sin\theta=0\) なら \(z=r\cos\theta\)。つまり \(z\) は実数。

（解3）z = a + bi とおく

\(z=a+bi\)（\(a,\ b\) は実数で、同時には 0 でない）とおきます。分母を実数化すると

\[\frac1{a+bi}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}\]

なので、\(z+\dfrac1z\) の虚部は

\[b-\frac{b}{a^2+b^2}=\frac{a^2b+b^3-b}{a^2+b^2}\]

実数になるのは、この分子が 0 のときです。

\[b\left(a^2+b^2-1\right)=0\]

\(b=0\) なら \(z\) は実数。
\(a^2+b^2=1\) なら \(|z|=1\)。

つまずきポイント

「実数 ⇔ \(w=\overline{w}\)」の共役を一部だけにつける。 \(\overline{\left(\frac1z\right)}=\frac1{\overline{z}}\) まで、和の全体にかける。
\(z-\overline{z}\) で割ってしまう。 割ると「\(z\) が実数」の場合が消える。くくり出して積 \(=0\) にする。
極形式で \(\dfrac1z\) の偏角を \(\theta\) のままにする。 絶対値は \(\dfrac1r\)、偏角は \(-\theta\)。
「必要十分」を片方向だけ示す。 同値変形 \(\iff\) でつなげば、両方向が一度に言える。