数学Ⅲα【122】王道の流れで面積と体積

この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。

この問題は、数学Ⅲの微分・積分の王道の流れそのものです。 (1) 微分できますか、(2) 増減が判定できますか、(3) 部分積分できますか、 (4) \(\pi\int_0^\pi(x\sin x)^2dx\) の部分積分を2回できますか。順に確かめていきます。

この回で扱う問題

(1) 積の微分

\[f'(x)=\sin x+x\cos x\]

\[f''(x)=\cos x+(\cos x-x\sin x)=2\cos x-x\sin x\]

(2) x = 0 で極小

\(f'(0)=0+0=0\)、\(f''(0)=2-0=2\gt 0\)。

\(f'(0)=0\) かつ \(f''(0)\gt 0\) なので、\(f(x)\) は \(x=0\) で極小値をもちます。

※ 第2次導関数を使わずに示すこともできます。\(-\frac{\pi}{2}\lt x\lt 0\) では \(\sin x\lt 0,\ x\cos x\lt 0\) なので \(f'(x)\lt 0\)、 \(0\lt x\lt \frac{\pi}{2}\) では \(f'(x)\gt 0\)。\(x=0\) の前後で \(f'(x)\) が負から正に変わります。

(3) D の面積

\(0\le x\le\pi\) では \(x\ge 0,\ \sin x\ge 0\) なので \(f(x)\ge 0\)。面積はそのまま積分です。部分積分で

\[\int_0^\pi x\sin x\,dx=\Big[-x\cos x\Big]_0^\pi+\int_0^\pi\cos x\,dx\]

\[=\pi+\Big[\sin x\Big]_0^\pi=\pi\]

(4) 回転体の体積 ― 部分積分を2回

\[V=\pi\int_0^\pi(x\sin x)^2dx=\pi\int_0^\pi x^2\sin^2x\,dx\]

\(\sin^2x\) は半角の公式で次数を下げます：\(\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}{2}\)。

\[V=\frac{\pi}{2}\left(\int_0^\pi x^2dx-\int_0^\pi x^2\cos2x\,dx\right)\]

前の積分は \(\dfrac{\pi^3}{3}\)。後ろの積分は部分積分を2回行います。

\[\int_0^\pi x^2\cos2x\,dx=\left[\frac{x^2\sin2x}{2}\right]_0^\pi-\int_0^\pi x\sin2x\,dx\]

1つ目の \([\ ]\) は \(0\)。残りをもう一度部分積分すると

\[\int_0^\pi x\sin2x\,dx=\left[-\frac{x\cos2x}{2}\right]_0^\pi+\int_0^\pi\frac{\cos2x}{2}dx\]

\[=-\frac{\pi}{2}+0=-\frac{\pi}{2}\]

よって \(\displaystyle\int_0^\pi x^2\cos2x\,dx=\frac{\pi}{2}\)。

\[V=\frac{\pi}{2}\left(\frac{\pi^3}{3}-\frac{\pi}{2}\right)\]

つまずきポイント