共テ数学ⅡBC 第1回【第2問】2のべきではさんで log₂3 を評価する ― 指数・対数

この問題の考え方を短い動画にまとめました。動画は問題の提示から始まります。 流れをつかんでから、下の解説を読んでください。

\(\log_2 3\) の値は、電卓なしでは出せません。でも2のべきではさむと、整数部分も小数第1位も決められます。 \(3^k\) が \(2^n\) と \(2^{n+1}\) のあいだにあれば、\(k\log_2 3\) の整数部分は \(n\)。 この回は、そのはさみ方を2段階で使います。

この回で扱う問題

方針 ― 2のべきではさむ

• \(k\log_2 3=\log_2 3^k\)。真数の \(3^k\) を2のべきではさむ。
• \(2^n\lt 3^k\lt 2^{n+1}\) なら、底2の対数をとって \(n\lt k\log_2 3\lt n+1\)。底 \(2\gt 1\) なので不等号の向きは変わらない。
• (2) は \(\log_2 3\) 自体をはさむ。1回では幅が広いので、2回はさんで重ねる。

(1) \(4\log_2 3\) の整数部分（アイ・ウ・エ）

\[4\log_2 3=\log_2 3^4=\log_2 81\qquad(\text{アイ}=81)\]

2のべきを並べると \(2^6=64,\ 2^7=128\)。\(81\) はそのあいだなので

\[2^6\lt 81\lt 2^7\qquad(\text{ウ}=6)\]

底 \(2\) の対数をとって \(6\lt 4\log_2 3\lt 7\)。整数部分は 6（エ＝6）です。

(1) 整数部分が2桁になる最小の k（オ・カキ）

\(N=k\log_2 3\) の整数部分が2桁とは、\(10\le N\lt 100\) のこと。\(N=\log_2 3^k\) なので

\[10\le\log_2 3^k\lt 100\ \Longleftrightarrow\ 2^{10}\le 3^k\lt 2^{100}\]

\(2^{10}=1024\)。\(3^k\) を小さい \(k\) から順に調べます。

• \(k=6\)：\(3^6=729\lt 1024\)。まだ足りない（\(N\) は1桁）。
• \(k=7\)：\(3^7=2187\ge 1024\)。届いた。

\(3^7=2187\) は \(2^{100}\) よりずっと小さいので、上の条件も満たします。最小の \(k\) は 7（オ＝7）。

このとき \(N=7\log_2 3=\log_2 2187\)。\(2^{11}=2048,\ 2^{12}=4096\) より \(2^{11}\lt 2187\lt 2^{12}\) なので

(2) \(\log_2 3\) の小数第1位

\(1\lt \log_2 3\lt 2\) なので、小数第1位の数字を \(p\) とすると

\[1+\frac{p}{10}\le\log_2 3\lt 1+\frac{p+1}{10}\]

となる \(p\) を求めればよい。\(\log_2 3\) 自体を、小数の目盛りでつかまえます。

1回目：\(3^2\) をはさむ（ク・コサ）

\(2^3=8\lt 3^2=9\lt 2^4=16\)（ク＝3）。対数をとって \(3\lt 2\log_2 3\lt 4\)。\(2\) で割ると

\[\frac{3}{2}\lt \log_2 3\lt 2\]

2回目：\(3^5\) をはさむ（ケ・シス）

\(2^7=128\lt 3^5=243\lt 2^8=256\)（ケ＝7）。対数をとって \(7\lt 5\log_2 3\lt 8\)。\(5\) で割ると

\[\frac{7}{5}\lt \log_2 3\lt \frac{8}{5}\]

1回目だけでは \(1.5\) から \(2\) までと広すぎ、2回目だけでは \(1.4\) から \(1.6\) で、\(p=4\) か \(5\) か決まりません。2つを重ねると

すなわち \(1.5\lt \log_2 3\lt 1.6\)。\(1+\dfrac{p}{10}\le\log_2 3\lt 1+\dfrac{p+1}{10}\) にあてはめると \(p=5\)（セ＝5）です。

つまずきポイント